Elektrotechnik – 4. Magnetismus

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

Elektrotechnik – Straub

4. Magnetismus

  1. Magnetisches Feld
  2. Kräfte im magnetischen Feld
  3. Magnetische Feldgrößen und Durchflutungsgesetz
  4. Materie im Magnetfeld
  5. Der magnetische Kreis
  6. Kraft am Luftspalt
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Elektrizität & Magnetismus

... sind untrennbar verbunden. Eine konsistente Naturbeschreibung erfordert beide.

Grenzfälle:

  • Ruhende Ladungen → Elektrostatik
  • Konstante Stromverteilungen → Magnetostatik
  • Langsam bewegte Ladungen & langsam veränderliche Ströme → Quasistatik
  • Allgemeiner Fall → Elektrodynamik
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Magnetpole

  • Magnete besitzen immer zwei Pole: Nordpol (N) und Südpol (S)
    • Nordpol = Pol, der auf der Erde nach Norden zeigt
  • Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige Pole ziehen sich an
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Kräfte zwischen elektrischen Leitern

Zwei parallele, stromdurchflossene Leiter üben eine Kraft aufeinander aus:

Magnetfelder entstehen durch bewegte elektrische Ladungen (Ströme).

Im SI-System gilt mit

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Wichtiger Unterschied zur Elektrostatik

  • In der Elektrostatik haben wir die Feldstärke über die Kraft definiert:
  • In der Magnetostatik geht das nicht so einfach, da die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung wirkt
  • Experimentell lassen sich Feldlinien durch die Ausrichtung kleiner Permanentmagnete (Kompassnadeln) sichtbar machen
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Magnetische Feldlinien

  • Magnetische Feldlinien zeigen in die Richtung, in die sich der Nordpol eines kleinen Testmagneten ausrichten würde: N → S außerhalb des Magneten
  • Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen (keine magnetischen Monopole!)
  • Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Stärke des Magnetfeldes
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Magnetische Flussdichte

Die magnetische Flussdichte zeigt entlang der magnetischen Feldlinien. Ihr Betrag ist proportional zur Dichte der Feldlinien.

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Rechte-Faust-Regel

  • Ein gerader, stromdurchflossener Leiter erzeugt ein ringförmiges Magnetfeld. Wenn der Daumen der Faust in Stromrichtung zeigt, zeigen die gekrümmten Finger in Feldrichtung
  • Alternativ: Eindrehen einer Schraube in Stromrichtung → Drehrichtung der Schraube entspricht der Feldlinienrichtung
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Magnetische Flussdichte eines stromdurchflossenen Leiters

Im Abstand von einem geraden, unendlich langen Leiter:

Einheit: das Tesla

Zahlenbeispiel (→ Tafel): Wie viel Strom braucht man für 1 T in 1 m Abstand?

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Größenordnung der magnetischen Flussdichte

Magnet Magnetische Flussdichte B
Erdmagnetfeld 30 µT – 60 µT
Kühlschrankmagnet 1 mT – 10 mT
Magnetstreifen (Kreditkarte) 10 mT – 100 mT
Lautsprechermagnet 100 mT – 1 T
MRT-Gerät 1 T – 3 T
Large Hadron Collider (LHC) 8 T
Fusionskraftwerk 5–15 T
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Kräfte im magnetischen Feld

Lorentzkraft auf bewegte Ladung:

Kraft auf stromdurchflossenen Leiter:

  • Skalar (wenn ):
  • Rechte-Hand-Regel: Daumen = Stromrichtung, Zeigefinger = Feldrichtung, Mittelfinger = Kraftrichtung
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Bewegte Ladung im Magnetfeld

Kreisbewegung:

  • Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft:
  • Bahnradius:
  • Umlauffrequenz: (unabhängig von !)

Anwendungen: Teilchenbeschleuniger (Zyklotron), Massenspektrometer

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Vergleich: Elektrisches und magnetisches Feld

Eigenschaft Elektrisches Feld Magnetisches Feld
Feldlinien Beginnen/enden auf Ladungen Enden nie
Quellen Ladungen Keine (keine Monopole)
Wirbel Keine (wirbelfrei) Ströme erzeugen Wirbel
Potential Darstellbar als Gradient Nicht darstellbar
Arbeit Wegunabhängig Keine (Magnetostatik)

Elektrostatisches Feld = Quellenfeld, wirbelfrei
Magnetostatisches Feld = quellenfrei, Wirbelfeld

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Magnetischer Fluss

Der magnetische Fluss durch eine Fläche :

Einheit: (Weber)

Da das magnetische Feld quellenfrei ist, gilt für jede geschlossene Fläche:

(Vergleiche: Satz von Gauß, )

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Magnetische Feldstärke

Die magnetische Feldstärke beschreibt die Fähigkeit eines elektrischen Stroms, ein Magnetfeld zu erzeugen.

Zusammenhang mit der magnetischen Flussdichte (im Vakuum):

Einheit:

Beispiel: gerader stromdurchflossener Leiter (Abstand ):

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Durchflutungsgesetz (Ampèresches Gesetz)

Die Summe der magnetischen Feldstärke längs eines geschlossenen Weges ist gleich der Gesamtstromdurchflutung:

Erinnerung: in der Elektrostatik gilt aufgrund der Wegunabhängigkeit des Potentials:

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Vergleich: Gaußsches Gesetz und Ampèresches Gesetz

Elektrostatik Magnetostatik
Gaußsches Gesetz Ampèresches Gesetz
Quellenfeld Wirbelfeld
Wirbelfreiheit: Quellenfreiheit:

Anwendung bei Symmetrie:

  • Gauß → Kugel-, Zylinder-, Plattensymmetrie für Ladungen
  • Ampère → Zylinder-, Ebenen-, Toroidsymmetrie für Ströme
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Magnetfeld einer langen Spule

Lange Spule mit Windungen, Länge , Strom . Durchflutungsgesetz:

Im Inneren der Spule:

Außerhalb:

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📝 Jetzt sind Sie dran: Magnetfelder berechnen (zu zweit)

Aufgabe 11

a) Eine lange Spule hat Windungen auf und führt . Wie groß sind und im Inneren (Luft)? Vergleichen Sie mit dem Erdmagnetfeld!

b) Bei einer langen Doppelleitung (Hin- und Rückleiter) beträgt der Achsabstand ; der Strom ist . Berechnen Sie allgemein den Betrag der magnetischen Feldstärke auf der Verbindungslinie zwischen den Leitern und werten Sie ihn in der Mitte aus. (Tipp: Superposition – beide Beiträge addieren sich dort!)

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Magnetisches Verhalten von Materie

Ähnlich wie bei Dielektrika im elektrischen Feld reagiert Materie im Magnetfeld durch Magnetisierung.

Magnetische Dipole in Atomen:

  • Elektronen haben einen intrinsischen Spin (magnetischer Dipol)
  • Bahnbewegung der Elektronen erzeugt Bahnmagnetismus
  • Jedes Elektron ist ein winziger Permanentmagnet – makroskopische Magnete entstehen durch Ausrichtung vieler Spins
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Magnetische Suszeptibilität und Permeabilität

Die Magnetisierung ist proportional zur magnetischen Feldstärke :

Reaktion auf äußeres Feld:

  • Diamagnetismus: gegen das äußere Feld (, )
  • Paramagnetismus: mit dem äußeren Feld (, )
  • Ferromagnetismus: starke Ausrichtung ()
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Magnetische Eigenschaften der Elemente

(S. Zurek, Encyclopedia Magnetica, CC-BY-SA 4.0)

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Diamagnetismus

  • Tritt in allen Materialien auf; (sehr klein), knapp unter 1
  • Mechanismus: externes Feld induziert Änderung der Elektronenbahnen → magnetisches Moment entgegen dem äußeren Feld
  • Effekt verschwindet mit dem Feld

Beispiele: Kupfer, Silber, Gold, Wasser, organische Materialien

Kuriosum: Diamagnete können in starken Feldern schweben →

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Paramagnetismus

  • Atome besitzen permanente magnetische Dipole; (klein), knapp über 1
  • Ohne Feld: zufällige Ausrichtung (thermische Bewegung); mit Feld: partielle Ausrichtung parallel
  • Paramagnete werden schwach von Magneten angezogen; stärker bei tiefen Temperaturen

Beispiele: Aluminium, Platin, Sauerstoff

⚠️ Merken für die Praxis: Aluminium ist nicht ferromagnetisch – ein Elektromagnet hebt keine Alu-Platten!

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Ferromagnetismus

  • Sehr starke Magnetisierung: (bis zu !)
  • Spontane Magnetisierung auch ohne externes Feld möglich
  • Mechanismus: starke Wechselwirkung benachbarter Atome (Austauschwechselwirkung) → Bildung von Weiss’schen Bezirken (Domänen), die ein externes Feld ausrichtet

Beispiele: Eisen, Kobalt, Nickel

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Weiß’sche Bezirke

  • Bereiche mit gleich orientierten magnetischen Dipolen
  • Spontane Magnetisierung innerhalb der Bezirke

Ohne äußeres Feld: Bezirke zufällig orientiert → keine Gesamtmagnetisierung
Mit äußerem Feld: Bezirke richten sich aus; bei Sättigung einheitlich

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Ferromagnetismus: Hysterese

Kenngrößen:

  • Sättigungsmagnetisierung (1): maximale Magnetisierung
  • Remanenz (2): verbleibende Flussdichte bei verschwindendem äußeren Feld
  • Koerzitivfeldstärke (3): Feldstärke zum Entmagnetisieren

Die Magnetisierung hängt von der Vorgeschichte ab – ist keine eindeutige Funktion!

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Harte/weiche Magnete

  • Weichmagnetische Materialien:

    • Schmale Hysteresekurve: leicht magnetisier- und entmagnetisierbar
    • Anwendung: Transformatoren, Elektromagnete

  • Hartmagnetische Materialien:

    • Breite Hysteresekurve: behalten ihre Magnetisierung
    • Anwendung: Permanentmagnete, Motoren, Lautsprecher
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Magnetisches Feld und Magnetisierung

Magnetisierung : magnetisches Dipolmoment pro Volumeneinheit

Konvention: beschreibt das durch freie Ströme erzeugte Feld – ohne Beiträge der Magnetisierung (vgl. und freie Ladungen in der Elektrostatik!).

Vorteil: Das Durchflutungsgesetz gilt unverändert:

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Übersicht: Größen in der Magnetostatik

Größe Definition Einheit
Magnetische Flussdichte (magnetic flux density)
Magnetische Feldstärke (magnetic field [strength])
Magnetischer Fluss (magnetic flux)
Durchflutung (magnetomotive force)
Magnetische Feldkonstante
Relative Permeabilität dimensionslos
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📝 Jetzt sind Sie dran: Materie im Magnetfeld (zu zweit)

Aufgabe 12 (Begründungsfragen – Klausurstil!)

a) Ein Elektromagnet soll in einer Recyclinganlage Metallteile sortieren. Kann er Aluminiumplatten anheben? Stahlplatten? (Mit Begründung!)

b) Lesen Sie aus der Hysteresekurve (vorige Folie) ab: Welche Größe muss ein Material für einen guten Permanentmagneten besitzen – und welche für einen guten Transformatorkern? (Mit Begründung!)

c) Ein Eisenkern wurde aufmagnetisiert und der Spulenstrom danach abgeschaltet. Warum ist im Kern nicht null?

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Zwischenstand – und nächste Woche: Übungsklausur!

Heute: Magnetfeld (, , , ), Kräfte (, ), Durchflutungsgesetz, Materie (dia/para/ferro, Hysterese)

Nächste Woche: Übungsklausur unter Klausurbedingungen

  • Stoff: Kapitel 1–3 (Einheiten, E-Feld, Gleichstrom)
  • 60 Minuten, keine Hilfsmittel – wie in der echten Prüfung
  • Mit „Ersatzwerten" wie im Original: wenn Sie eine Teilaufgabe nicht lösen, rechnen Sie mit dem Ersatzwert weiter!
  • Danach: ausführliche Besprechung

In zwei Wochen: der magnetische Kreis – Magnetfelder berechnen wie Stromkreise.

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Der magnetische Kreis

Definition: geschlossener Pfad aus ferromagnetischem Material, durch den magnetischer Fluss geführt wird.

Relevant in vielen Anwendungen:

  • Elektromotoren, Generatoren
  • Transformatoren
  • Induktives Laden
  • Sensoren, Aktuatoren, Relais

Problem: Wie dimensioniert man diese Systeme effizient?

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Herausforderung: Komplexe Magnetfelder

Direkter Ansatz wäre kompliziert: 3D-Feldberechnung, numerische Simulation (FEM)

Eindimensionale Lösung: der magnetische Kreis – eine mathematische Analogie zum elektrischen Stromkreis:

  • Einfache Berechnungen wie bei Widerstandsnetzwerken
  • Gute Näherung für viele praktische Fälle

Voraussetzung: magnetischer Fluss „fließt" hauptsächlich durch ferromagnetisches Material

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Grundidee

Elektrischer Kreis: Spannung treibt Strom durch Widerstand:

Magnetischer Kreis: Durchflutung treibt magnetischen Fluss durch magnetischen Widerstand:

Wichtig: Diese Analogie ist mathematisch, nicht physikalisch – es „fließt" nichts. Aber sie macht Magnetkreise so einfach berechenbar wie Widerstandsnetzwerke.

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Herleitung des magnetischen Widerstands

Homogener Kreis (konstantes , ein Material, Feld folgt dem Materialweg):

Mit und folgt , also:

Das ist das „Ohmsche Gesetz" des magnetischen Kreises!

— analog zu

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Magnetischer Leitwert (Permeanz)

Analog zum elektrischen Leitwert :

Alternative Formulierung:

Große Permeabilität → großer Leitwert → viel Fluss.

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Zusammenfassung: Die Analogie

Elektrischer Kreis Magnetischer Kreis
Spannung Durchflutung
Stromstärke Magnetischer Fluss
Widerstand Mag. Widerstand
Leitwert Mag. Leitwert
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Reihen- und Parallelschaltung magnetischer Widerstände

Reihenschaltung (verschiedene Abschnitte im selben Flusspfad — Eisen, Luftspalt, …):

Der gleiche Fluss durchfließt alle Abschnitte (wie der Strom in der Reihenschaltung).

Parallelschaltung (der Fluss verzweigt sich auf mehrere Schenkel):

Am Verzweigungspunkt gilt die „Knotenregel": — auch magnetische Ersatzschaltbilder zeichnet man wie Stromkreise! (Klausuraufgabe WS 2000/01: Kern mit drei Schenkeln)

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Praxisbeispiel: Elektromagnet mit Luftspalt

Typische Anwendung: Schaltschütz, Relais, Hubmagnet

Aufbau:

  • Eisenkern mit Spule ( Windungen, Strom )
  • Luftspalt der Länge , Eisenweg , Querschnitt

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Die überraschende Dominanz des Luftspalts

Zahlenwerte (typisch): Eisenweg cm, ; Luftspalt mm

Der Luftspalt ist 7× wichtiger, obwohl er 300× kürzer ist!

Praktische Näherung für und : Eisenwiderstand vernachlässigen, . In Klausuraufgaben oft als „" formuliert!

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Kraft am Luftspalt

Ein Elektromagnet zieht ferromagnetisches Material an. Die Kraft pro Polfläche:

  • : Flussdichte im Luftspalt, : Polfläche
  • Herleitung über die Energie des Magnetfelds → Kapitel 5
  • ⚠️ Bei einem U-Kern gibt es zwei Polflächen → zwei Luftspalte, doppelte Kraft (bzw. halbe Kraft pro Fläche nötig)

Typische Klausuraufgabe: Hubmagnet/Bestückungsautomat dimensionieren – von der geforderten Kraft rückwärts zu , und .

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📝 Jetzt sind Sie dran: Elektromagnet dimensionieren (zu zweit)

Aufgabe 13 (= Klausuraufgabe WiSe 2018/19!)

Ein Elektromagnet am Roboterarm soll Eisenblechtafeln () anheben. U-förmiger Kern, Querschnitt pro Pol, Luftspalt pro Pol (Verschmutzung), , Windungen. Hinweis: normierter Luftspalt (1 mm, 1 cm²) hat ; mit .

a) Skizzieren Sie das magnetische Ersatzschaltbild. Wie groß ist (zwei Luftspalte!)?
b) Welche Kraft muss pro Luftspalt wirken? Welche Flussdichte ist dafür nötig?
c) Welcher Strom stellt die notwendige Kraft sicher?
d) Kann der Magnet auch Aluminiumplatten anheben? (Begründung!)

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Unsere Basiseinheiten-Tabelle wächst

Elektrische Größe Formelzeichen Einheit Basiseinheiten
Ladung C
Spannung V
Kapazität F
Widerstand Ω
Magn. Flussdichte T
Magn. Fluss Wb

Herleitung an der Tafel: ,

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Zusammenfassung: Magnetismus

  • Magnetfelder entstehen durch bewegte Ladungen; Feldlinien sind immer geschlossen
  • Kräfte: bzw. ; Rechte-Hand-Regel
  • Durchflutungsgesetz: ; lange Spule:
  • Materie: dia- (), para- (), ferromagnetisch (, Hysterese!)
  • Magnetischer Kreis: mit — rechnen wie im Stromkreis
  • Der Luftspalt dominiert; Kraft am Luftspalt:

Nächstes Kapitel: Elektromagnetische Induktion – wie aus Bewegung Spannung wird ⚡

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Vertiefung: Magnetfeld in einem Tokamak

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Vertiefung: Magnetfeld in einem Tokamak

Ringförmiges Fusionsreaktor-Design mit toroidalem Magnetfeld zum Plasmaeinschluss.

Toroidale Feldspulen (TF): Spulen, Windungen, Strom ; Ampèresches Gesetz auf kreisförmigem Weg (Radius ):

Feld nimmt mit ab (inhomogen); typisch

Beispiel ITER: 18 TF-Spulen, 134 Windungen, 68 kA → B = 5,3 T bei 6,2 m Radius

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